Approaching mathematics

Profs. Lionel Henríquez B., Adolfo Quiroz R., Pedro Reumay R.

* Este trabajo fue presentado en el Seminario de Enseñanza de la Matemática en la Educación Universitaria, patrocinado por el Consejo de Rectores Sur y la Universidad Austral de Chile y efectuado en Valdivia, Chile, los días 11 y 12 de enero de 1996.

Resumen

En este trabajo se tratan algunos elementos de interés respecto de los agentes externos (dados por el medio o por el contexto), e internos (reflexión personal), que influyen en las actitudes del alumno al enfrentar el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática. Entre éstos estarían los modelos humanos que él dispone, las guías adecuadas de ejercicios y el conocimiento y buen uso de los razonamientos y operaciones mentales, entre los cuales se destacan y analizan la abstracción e imaginación.

Abstract

In this work some interesting elements about external agents (given by the environment or the context) and internal agents (personal thinking), that influence the student in the teaching-learning process of mathematics are developed. Among these would be the human patterns available, the accurate exercise guide, and the knowledge and right use of the conclusions and mental operations, in particular, abstraction and imagination.

INTRODUCCION

Una dificultad importante en el estudio de las materias escolares, en particular la matemática, es la falta de motivación para hacerlo, lo que se debe fundamentalmente a las actitudes negativas con las que el estudiante enfrenta esta disciplina. Estas actitudes pueden deberse, entre otras, a una mala adaptación del escolar al medio en que se desarrolla el proceso de aprendizaje, pues en su inserción a este medio no se consideró que existe una interacción dinámica y mutuamente perfectiva entre él y su situación total de aprendizaje (Doval y Santos 1995:123). Esta situación puede incidir en emocionalidades negativas, entre las cuales se puede destacar el temor al fracaso y las frustraciones (Mager 1971:66 y ss.). Por lo general, el estudiante desconoce que tanto estos temores como las frustraciones son originados por agentes externos e internos provenientes del medio, del contexto del proceso de enseñanza-aprendizaje y de sí mismo, este último como centro de la conciencia, es decir el yo (Jung 1934, 1992:96). Es necesario que el estudiante devele estos agentes, para que en el peor de los casos disminuyan sus emocionalidades negativas, puesto que “las condiciones y las consecuencias positivas universales son precisamente lo opuesto de las repulsivas universales. Aquellas son las que encaminan hacia experiencias satisfactorias y las reconocen, aseguran una diversidad de estímulos, llevan a un acrecentamiento de la propia estima o a mejorar la imagen propia y producen un refuerzo de la confianza” (Mager 1971:74 y 75).

El objetivo del presente ensayo es entregar algunos elementos de interés en relación a estos agentes, de modo que sirvan de base a posteriores análisis y reflexiones. Elementos que al ser dados a conocer por el profesor a los alumnos, éstos los manejen en profundidad y así puedan transformar sus actitudes negativas en positivas, de tal manera que tengan una conducta apropiada para obtener logros deseables. Hay que tomar en cuenta que “el aprendizaje compromete a toda la fisiología. El estrés y la amenaza afectan el cerebro, el que es influenciado de manera diferente por la paz, el desafío, el hastío, la felicidad y el contento” (Salas et al. 1995:117).

Es principalmente por lo anterior que este trabajo girará tanto en torno del estudio de algunos agentes externos (los padres, profesores y apoyos materiales), como el de los agentes internos, entre los cuales se destacan y desarrollan en una mayor medida la creatividad, la imaginación, la abstracción y la intuición matemática. Estos últimos son de gran importancia por la influencia que tienen en la adquisición de la autoconfianza que debiera tener un alumno frente al proceso de enseñanza-aprendizaje.

Padres y profesores. Mager (1971:45-52) relata la importancia de los modelos humanos en el proceso enseñanza-aprendizaje, en especial de los padres y los profesores. En relación a estos últimos, cita un estudio efectuado por él a 65 alumnos con respecto a preferencias y rechazos de los alumnos a determinadas materias escolares, entre las cuales está la matemática.

En relación a los modelos que son los padres para sus hjos, al menos en sus primeros años de escolaridad, se da el caso que, el niño al solicitarles ayuda, éstos responden algunas veces con agrado, otras veces con indiferencia o por último con desagrado, olvidando o desconociendo que este niño tenderá a imitar sus actitudes y conductas. “La madre, al igual que el padre, transmite un modelo de persona tanto al hijo como a la hija. Debido a los lazos afectivos y al permanente contacto que une a padres e hijos, la influencia de aquéllos sobre éstos es normalmente la más poderosa durante la infancia” (Mulsow y Pérez Blasco 1994:29). Al respecto, durante algunos años, al iniciar los cursos, con alumnos novatos, les preguntábamos cuáles serían a juicio de ellos las causas de motivación, indiferencia o desmotivación hacia el aprendizaje de la matemática. Las respuestas más comunes fueron las de haber tenido un profesor que con sus actuaciones les había provocado tal actitud. Otros respondieron que habían sido sus padres en sus primeros años de escolaridad. Ambas respuestas fueron dadas cada vez que lo preguntábamos, la primera era más significativa que la segunda, que tenía una frecuencia de una o dos de cada 50 alumnos, cifra no despreciable.

En relación a las actuaciones de los profesores de matemática que llevan al alumno a tomar una determinada actitud hacia esta disciplina, se puede individualizar, entre otras, aquella situación en la cual el estudiante no puede resolver un problema fácil y puntual, ante el cual responde vaguedades. Frente a esta situación algunos profesores actúan precipitadamente, no pensando que esto podría deberse al hecho de que el estudiante estuviera afectado emotivamente por alguna discusión previa a la clase, por desadaptación, por desafecto u otra causa, todo lo cual le impide concentrarse adecuadamente. Es por ello que nos parece necesario tomar en cuenta el siguiente planteamiento: “aceptar las respuestas de los discípulos, correctas o no, como intentos de aprender, y acompañarlas de comentarios de aprobación y no de rechazo” (Mager 1971:75).

El contexto. Entre los múltiples componentes del contexto del proceso enseñanza-aprendizaje están los apoyos materiales, entre los cuales figuran los textos de estudio (texto guía, textos complementarios, guías de ejercicios, etc.), los medios audiovisuales y otros que permiten al alumno optimizar su aprendizaje. Es conveniente que él se interese positivamente en éstos; por ejemplo, ante una tarea fácil, tratar de usar sólo los necesarios y limitar el tiempo de ejecución y ante una tarea difícil pedir el asesoramiento estrictamente necesario, tratando de evitar los distractores que puedan dispersar su tensión atentiva. Es decir, que sea un alumno que esté frente a un proceso educativo que “construye y propone modelos de intervención pedagógica válidos para elevar los cocientes de adaptabilidad interactuantes en el hecho educativo: los cocientes de adaptabilidad del educador a las características del educando y del educando a los requerimientos de cada tarea”. Proceso que ofrezca “... a los alumnos oportunidades de desarrollo cognitivo holístico (impulsivo-reflexivo)” (Doval y Santos 1995:126-127). En síntesis, que sea un alumno adaptativo.

Pero frente a lo anterior existe una consideración que no puede dejarse de lado. Esta dice relación con la gran cantidad de información que se requiere en el estudio de la matemática. “Too seldom explicit notice taken of the fact that what we ‘cover’ in one or two semester of calculus is destillation of over 150 years work of some brilliant people. Of course, this reflects a pedagogical decision to provide the student with needed mathematical tools as quickly as possible” (Long 1986:610) (…asimismo raramente hacemos notar que lo abarcado en uno o dos semestres de cálculo es una destilación de 150 años de trabajo de algunas personas muy brillantes. Por supuesto esto refleja una decisión pedagógica para proveer al estudiante de las herramientas matemáticas tan rápido como sea posible). Más aún, esta información es acumulativa, la que en cualquier momento puede ser utilizada y por ello no puede ser olvidada. Lo favorable para la memorización de estos conocimientos es que para ello sólo se requiere el sistemático desarrollo de ejercicios o problemas en los cuales se deban utilizar estos conocimientos y es por ello que el profesor debe proporcionar al alumno guías de ejercicio adecuadas que complementen los textos y que apunten a la internalización de los conceptos. El aprendizaje de estos conceptos matemáticos no sólo requiere para sus aplicaciones una gran cantidad de ejercicios, sino una diversidad de ellos.

El alumno. Uno de los agentes internos que provoca desmotivación y por ende desinterés por el aprendizaje de la matemática es el desconocimiento de lo que entrega esta disciplina al estudiarla sistemáticamente.

Para encontrar la solución a un problema matemático el estudiante debe hacer uso de su capacidad creativa, y el hecho de crear algo nuevo le produce una gran satisfacción. Esta satisfacción o agrado es análogo al sentimiento estético que la belleza provoca en el hombre. El hecho evidente es que hay “una multitud de experiencias estéticas que nada tienen de artísticas en cuanto se originan y se realizan en objetos reales o naturales que no son artísticos” (Cofré 1991:6). Este agrado lo debería inclinar favorablemente por el estudio de la matemática. Tal inclinación emocional debería ser incentivada, puesto que es uno de los procesos del dominio afectivo y por consiguiente uno de los “que tienen relaciones paralelas con los procesos del hemisferio derecho” (Salas et al. 1995:115).

La matemática como poderosa herramienta permite el estudio óptimo de otras disciplinas, v.g., la física y la economía, entre otras, como así también aprender a pensar eficientemente. Esto último involucra el uso apropiado de los diversos tipos de razonamientos y operaciones mentales, los que son procesos del dominio cognoscitivo y que “se relacionan directamente con los procesos del hemisferio izquierdo” (Salas et al. 1995:115).

De lo anterior se desprende que en el estudio de la matemática están siempre comprometidos los dos hemisferios cerebrales, uno, el derecho, favoreciendo lo afectivo y, el izquierdo, favoreciendo lo cognoscitivo. Es por esto último que es importante que el profesor de matemática dé a conocer este uso y al mismo tiempo entregue una buena cantidad de ejemplos que apunten a este hecho. Si tomamos en cuenta los argumentos planteados por Salas et al. (1995:116): “ambos hemisferios cumplen roles de igual importancia en el proceso de aprendizaje” y “un corolario importante para cualquier educador es que en su clase debe procurar que sus alumnos alcancen no sólo rendimientos cognoscitivos, sino también logros afectivos; en otras palabras, no sólo que sus alumnos aprendan, sino que disfruten aprendiendo”; podemos decir que el proceso de enseñanza-aprendizaje de la matemática favorece de manera significativa la educación holística.

Ahora bien, al conocer el alumno lo que le entrega la matemática, al influir positivamente en la educación holística o en el desarrollo de sus capacidades intelectuales, éste sabría que la matemática le está aportando un desarrollo intelectual integral, incrementándole su autoconfianza. Esta autoconfianza es la que debe tener cualquier persona para emprender con éxito cualquier empresa, lo que obviamente produce inmensos beneficios, de los cuales se puede destacar el mejor uso de la voluntad, sin la cual es imposible aquietarse para intentar resolver un problema. Por razones de extensión, sólo nos extenderemos en lo que se refiere a aprender a pensar eficientemente y fundamentalmente en lo relacionado con las operaciones mentales de abstracción e imaginación. Estas últimas son de gran importancia, sobre todo en lo tocante al aspecto semántico (significación) del lenguaje de la matemática. Es así como es conveniente que el alumno para que pueda acercarse con menor dificultad a la matemática conozca al menos o tenga una idea aproximada de la abstracción e imaginación y sepa hasta qué punto estas capacidades están desarrolladas en él. En relación a ello sería útil entregar algunas ideas básicas.

Abstracción y abstracto. Ferrater Mora (1972:17) dice al respecto: “abstraer significa literalmente ‘poner aparte’, ‘arrancar’. Lo abstraído es ‘lo puesto aparte’ y el acto de poner aparte es una abstracción.

Cuando el poner aparte es mental y no físico la abstracción es un modo de pensar mediante el cual separamos conceptualmente algo de algo”.
Significación: Es una trilogía en la cual no pueden separarse completamente concepto, signo, símbolo y referente, entendiendo como tales:
Referente: Es el objeto o cosa al cual se le desea nombrar.
Símbolo: Es la palabra o signo con el que se señala el referente.
Concepto: Es la idea que se tiene del referente.

Para ejemplificar cómo se interrelacionan los anteriores conceptos, observemos una silla. La imagen que tenemos de ella es el referente. La palabra “silla” es su símbolo. El concepto sería el de asiento con respaldo y generalmente sin brazos.

Para poder utilizar adecuadamente el esquema anterior es provechoso dar otras ideas al respecto.
Parafraseando a Burton et al. (1965: 260 y 261), se pueden establecer cuatro grupos o niveles de abstracción no demasiado precisos, cuya identificación sirve para el uso y control de los términos abstractos:

Términos concretos: Palabras que designan cualidades experimentadas en forma inmediata, por ejemplo, dulce, duro, rojo, campana, perfume. Están relacionados directamente con los cinco sentidos.

Conceptos de clase: Términos o palabras mediante los cuales se puede referir a todos los miembros de una clase de cosas que poseen ciertas características comunes. Por ejemplo, alumno.

Abstracciones de alto nivel: Aquellas palabras cuyo significado está particularmente alejado del nivel concreto, v.g., infinito.

Conceptos de elaboración teórica: Son aquellos términos usados por los hombres de ciencia para hacer avanzar el pensamiento. Son conceptos hipotéticos. Un ejemplo de éstos es la palabra masa.

Imaginación. Por la naturaleza de este trabajo (no filosófico), se puede decir con respecto a la imaginación lo que se entiende comúnmente por ella. Es decir, se la puede considerar como el empleo de los sentidos sin usarlos realmente. Lo que no está lejos realmente de “imaginar como creer”, como es considerada por Ryle (1933), citado por Espinoza (1981:134 y ss.). Así por ejemplo, ver los objetos de nuestra casa habitación sin estar en ella. En general podemos imaginar todo el universo que nos rodea.

En relación a la imaginación, también se puede decir que ella se da de diversas maneras en individuos distintos y de distintas formas respecto de cada sentido, de acuerdo al grado de sensibilidad de cada persona; así tenemos: auditiva: el músico o la persona con aptitudes musicales, gustativa: el catador, olfativa: el elaborador de perfumes, táctil: el lector de escritura Braille y visual: la que todos poseemos en alguna medida y cuyo uso se nos ha enseñado desde niños, tanto en la educación formal como en la informal. Referente a ésta, un individuo puede imaginar el universo combinando realidad y creación (fantasía).

Y en particular, respecto de la imaginación visual, se puede decir que sin el uso de ella no se pueden utilizar en forma óptima los diagramas y dibujos que envuelvan conceptos, modelos matemáticos y la resolución de problemas se torna difícil. ‘The familiar saying “A picture is worth a thousand words” could he modified for mathematics to “A picture is worth a thousand numbers”’ (Bennett et al. 1996:108) (Lo que generalmente se dice “una imagen vale por cien palabras”, podría modificarse para la matemática por “una imagen vale por cien números”). “The use of diagrams and the teaching of mathematical connections are supported by NCTM’s¹ curriculum and evaluation standard for school Mathematics which proposes that the algebra curriculum move away from an emphasis on conceptual understanding” (Bennett et al. 1996:111) (El uso de diagramas y la enseñanza de relaciones matemáticas son sustentadas por las normas de curriculum y evaluación del Consejo Nacional de Profesores de Matemática de E.U.A. para el alumnado de matemáticas, el cual propone que el curriculum de álgebra se mueva desde un énfasis en la comprensión conceptual).
Volviendo al ejemplo de la silla, en el cual se usó el esquema  , éste corresponde a una situación con referente concreto. En el supuesto de que se tenga un elemento abstracto, como la característica de éste es la de no poseer un referente, este caso no podría reflejarse mediante tal esquema.

Abstracción e imaginación en el lenguaje de la matemática. Poniendo énfasis en el objetivo de este ensayo, que dice que es necesario transformar las actitudes negativas del alumno en positivas, se propone una forma de hacerlo a través de uno de los primeros problemas con que el estudiante de matemática se encuentra. Este es el lenguaje simbólico, que debe ser presentado como un conocimiento fácil, en el cual la habilidad que él tenga para interpretarlo es absolutamente indispensable. “The literature in mathematics education suggest that students will exhibit a greater comprehension in mathematics when they possess the ability to read, write, and understand the mathematical language” (Maida 1995:472) (La literatura en educación matemática sugiere que los estudiantes puedan mostrar una gran comprensión en matemáticas cuando ellos posean la habilidad para leer, escribir y entender el lenguaje matemático). Para presentar esta problemática de una manera simple, se puede sugerir lo siguiente:

Considérense las siguientes oraciones del español, inglés (lenguajes maternos) y el de la matemática (lenguaje artificial y formal),

En la lectura de la primera oración, la interpretación es inmediata y el lector de acuerdo a su capacidad imaginativa se forma un cuadro mental con lo que describe la oración.

En la segunda, la mayoría de las personas que conocen algo de este lenguaje (no ingleses parlantes) no la interpretan de inmediato, sino más bien lo que hacen primeramente es una traducción, para luego interpretarla.

Con la última, sucede algo parecido a la segunda, pues el estudiante después de leerla y traducirla con dificultad, la interpreta, e incluso por su carácter de alta abstracción no intenta, como en los casos anteriores, un cuadro mental con lo que entendió.

La idea tras esta sugerencia es que el alumno entrene su capacidad imaginativa, la cual involucra en su proceso, entre otras cosas, su capacidad de concentración, formándose cuadros mentales que puedan responder a la situación. No sólo se entrenará dicha capacidad, sino que tendrá la posibilidad de desarrollar su creatividad y podrá abstraer situaciones problemáticas, que sin el uso de ésta son prácticamente imposibles de entenderlas, y por consiguiente más difícil aún de solucionarlas.

Intuición. Finalmente, parece conveniente hacer mención a la confusión que generalmente se da entre los conceptos de intuición, intuición matemática y talento matemático. Tal confusión incide negativamente en la generalidad de los alumnos que consciente o inconscientemente se consideran malos alumnos en matemáticas.
Se infiere del ensayo “Funciones y estructuras del consciente y del inconsciente” de C.G. Jung (1934), reeditado en “Los complejos y el inconsciente” (Jung 1992:85-152), que la intuición no requiere información previa y no es privativa de ninguna disciplina del conocimiento, y tampoco se parcela por áreas de conocimiento. La intuición, “percepción espontánea de posibilidades vagas, es una función irracional” (Jung 1934, 1992:102).

Johnson reedita en la revista Mathematic Teacher (Johnson 1995:330-335) en una versión simplificada el artículo “On Learning Mathematics” (Bruner 1960:610-619), publicado en la misma revista, en el que, según Johnson, es un artículo que aún hoy mantiene vigencia. Dice Bruner “intuition, the class of non rigorous ways by wich mathematicians speed toward solution or cul-de-sacs” (intuición, caminos no rigurosos por donde avanzan rápidamente los matemáticos hacia una solución o hacia un callejón sin salida), y también “intuition implies the act of grasping the meaning or significance or structure of a problem without explicit reliance on the analytic apparatus of one’s craft. It is the intuitive mode that yields hypotheses quickly, that produces interesting combinations of ideas before their worth is known” (intuición implica el acto de captar el sentido o significado o estructura de un problema más allá de la confianza explícita en el sistema analítico de un oficio. Es el modo intuitivo en el que las hipótesis rinden rápidamente, produce interesantes combinaciones de ideas antes de que su idea sea conocida). Sobre lo anterior, de que aún mantiene vigencia, hay acuerdo, pero pareciera más conveniente decir que ello se refiere a un talento en particular: Talento Matemático.

En nuestro medio, también, aparte de lo antedicho, se habla de intuición matemática como de aquel proceso que nace de la sistemática resolución de problemas. Este concepto de intuición también se utiliza en otras disciplinas, por ejemplo se habla de la intuición de peligro que tiene un militar al desplazarse en un bosque, en el cual se supone existen enemigos dispuestos a eliminarlo. Esta intuición se obtiene, esencialmente, del gran entrenamiento previo que él tiene y que lo hace ver y oír en forma no consciente. A este tipo de intuición parece más conveniente llamarla “tincada” o “corazonada”. El alumno destacado en matemática (no necesariamente con talento, en el sentido dado anteriormente) al enfrentarse con un problema nuevo, debido a su gran entrenamiento en el desarrollo de problemas, tiene la tincada de cómo resolverlo, lo cual no es de un cien por ciento de efectividad, pero sí tiende a ese porcentaje.

CONCLUSIONES

Para que un estudiante quede convencido de que el estudio de la matemática es simple y de fácil acceso, es absolutamente necesario que él sepa lo que puede conseguir a través de ella y también que esté realmente convencido de que todo depende de él, pues para el estudio de esta disciplina se requieren, además de las capacidades de abstracción e imaginación, otras que también todos los hombres poseen, por ejemplo la capacidad de concentración. Esta última se puede utilizar óptimamente neutralizando los agentes externos e internos que la pueden afectar, siempre y cuando no sean de aquellos que perjudican la satisfacción de sus necesidades vitales, v.g., la sensación de hambre o, coligiendo de Doval y Santos (1995), simplemente a través del buen uso de estos agentes, ya sean del medio, del contexto o de su reflexión interior, o sea, como dicen Salas et al. (1995:116), tener una “educación confluyente”, es decir, una “educación que sea tanto afectiva como cognoscitiva”.

En el momento en que un estudiante se da cuenta que en el estudio de la matemática se requiere no sólo tener un buen modelo humano y mirar con buenos ojos el contexto, sino que también tomar conciencia de que en este estudio se necesitan razonamientos que todos los hombres poseen desarrollados en alguna medida (analogías ya sean por comparación o por discriminación, razonamientos por inducción, por deducción, análisis, síntesis, etc.), se le hará más fácil su estudio. En relación a esto último, es necesario indicar que el cerebro no es una máquina de calcular ³ y aquellos que lo pueden utilizar de esta manera, son casos particulares, pues tienen innata esta habilidad, así como otros tienen una gran memorización, es decir, se deben tomar en cuenta las diferencias individuales. El estudiante que no posee la capacidad innata de calcular no debería imitar a aquellos que disfrutan de ella, ya que al intentar hacerlo y no obtener resultados sólo gana una gran dosis de frustración, la que deriva en la incapacidad de resolver problemas. Esta flaqueza en el alumno es interpretada erróneamente, por una gran cantidad de personas, como falta de inteligencia.

Por último, es conveniente, entonces, tratar de establecer medios apropiados que convenzan al alumno que al menos existe la posibilidad cierta para él de llegar a obtener conductas, como la de intuición matemática o corazonadas, que le permitirán enfrentar con mayor éxito el aprendizaje de la matemática. En fin, convencerlo que él también puede tener tincadas o corazonadas que le permitan usar la expresión, al igual que los alumnos con talento matemático, “me tinca que la solución va por aquí”.

NOTAS

¹ National Council of Teacher of Mathematics, U.S.A.

² Todos los números naturales son mayores o iguales que el número uno.

³ Comunicación personal: Sergio Espinoza C., Psicólogo y Neurofisiólogo. Instituto de Fisiología, Universi-dad Austral de Chile, 1990, Valdivia.

Universidad Austral de Chile
Facultad de Ciencias
Instituto de Matemáticas
Casilla 567, Valdivia, Chile

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