C. Jurado. Síntesis Tecnológica. V.2 N° 1 (2005) 11-20
DOI:10.4206/sint.tecnol.2005.v2n1-02

MEDIDA DE LA IMPEDANCIA ACÚSTICA EN CONDUCTOS Y SILENCIADORES BAJO CONDICIONES DE BORDE DIFERENTES

CARLOS JURADO
JORGE ARENAS

Universidad Austral de Chile, Ingeniero Acústico, cjo@telsur.cl, General Lagos 950, dep. C-13, Valdivia, Chile.
Instituto de Acústica UACH, Ingeniero Acústico PhD, jparenas@uach.cl, casilla 567, Valdivia, Chile.

Resumen

En este trabajo se presentan los detalles de un sistema de medida para la determinación de parámetros acústicos en sistemas de conductos. En particular, el factor de reflexión a incidencia normal y la impedancia acústica, fueron determinados teórica y experimentalmente. Se investigó el efecto en los resultados de factores como el flujo de aire y la curvatura en los conductos. Se encontró que el efecto del primero se traduce en una variación del largo equivalente del conducto que transporta flujo. Por otro lado, se encontró que la impedancia de entrada de un conducto curvado es igual al mismo parámetro para un conducto recto de largo igual al eje central del conducto curvado.

Abstract

This research presents details of a measurement system used to determine acoustical parameters for duct systems. In particular, the normal incidence reflection factor and the acoustic impedance were obtained theoretically and experimentally. The effect on the resulting parameters of factors such as air flow and duct curvature was investigated. It was found that the flow induced effect was equivalent to shortening the length of the duct carrying the flow. An empirical expression that predicts the equivalent length of the duct in terms of the flow Mach number is suggested. On the other hand, it was found that the acoustic input impedance of a curved duct is equal to the same parameter for a straight duct of length equal to the central axis of the curved duct.

1. INTRODUCCIÓN

Con el propósito de cuantificar el efecto que pueden producir factores como el flujo de aire y la curvatura sobre las propiedades acústicas de sistemas de conductos (como por ejemplo una cámara de expansión), se implementó un sistema de medición de parámetros acústicos basado en la norma ISO 10534-2 [1]. El método se basa en la medición de la función de transferencia (H₁₂) entre dos micrófonos montados en la pared de un conducto de pruebas, siendo válido para condiciones de onda plana. Una vez efectuado un procedimiento de corrección de fase entre canales, se obtiene el factor de reflexión a incidencia normal (r) en un plano de referencia arbitrariamente escogido al interior del conducto de pruebas (ver figura 1). A partir de éste, se puede obtener la impedancia acústica normalizada o el coeficiente de absorción sonora, si así se desea. Los rangos de frecuencia de trabajo válidos están determinados por el diámetro interno del conducto de pruebas y la separación entre micrófonos.

2. MARCO TEÓRICO

Para el sistema de la figura 1 se tiene que: son las presiones de la onda incidente y reflejada, respectivamente; y son las magnitudes de p_l y p_r en el plano de referencia (x = 0). Las presiones en las posiciones de micrófono 1 y 2 serán: y , respectivamente (se omite el factor e ^jωt por comodidad). Luego como,

despejando se obtiene el factor de reflexión a incidencia normal:

Donde s = x₁ - x₂ es la separación entre micrófonos. Luego, la impedancia acústica normalizada en el plano de referencia arbitrario puede obtenerse a partir de r como [1]:

La función de transferencia corregida se obtiene a partir de una medición con los micrófonos intercambiados, utilizando la relación [1]:

,H₁₂ = (H'₁₂ + H"₁₂)^1/2 donde H'₁₂ es la función medida en la configuración normal y H"₁₂ la función medida con los mircrófonos intercambiados 

Figura 1: Sistema básico para la determinación de parámetros acústicos

Si quisiéramos obtener una expresión teórica para la impedancia de entrada en algún sistema de conductos y comparar con las mediciones experimentales, necesitaríamos conocer la impedancia acústica de radiación en el extremo, Por esto, para generar condiciones de borde representables, nuestro sistema limita en un extremo con la sala anecoica, como ilustra la figura 1. Así las expresiones de impedancia de radiación en el extremo de nuestro sistema, pueden representarse teóricamente para los casos de radiación con sonodeflector o sin sonodefletor. Dichas condiciones de radiación poseen soluciones teóricas conocidas. La impedancia de radiación en presencia de un sonodeflector infinito esta dada por la ecuación 8 de [2]:

donde v = 2kr, r es el radio de la boca (del tubo donde se irradia), J₁ es la función de Bessel del primer tipo y primer orden y S₁ es la función de Rayleigh-Struve del primer tipo y primer orden (ref. 5 de [3]). Esto, para propagación de onda en un medio estacionario. Sin embargo, si existe flujo de aire), la parte real de la impedancia acústica de la ecuación (3) es modificada por el número de Mach del flujo en la boca [4]. Se ha demostrado que la impedancia acústica en la boca estaría dada por [5]:

siendo M(L) el número de Mach del flujo en la boca. Para el caso de radiación sin sonodeflector, se utilizó la siguiente aproximación numérica [6] de la solución entregada por [7]:

Para el mismo caso, en presencia de flujo medio bajo, podemos utilizar las expresiones sugeridas en [8]:

R_Rad (M) = R_Rad - 2M²; (6)

X_Rad (M) ≌ X_Rad, (7)

donde R_rad y X_rad son la parte real e imaginaria de Z_rad de la Ec. (5) y M es el número de Mach. Una vez determinadas las expresiones para Zrad en presencia o ausencia de flujo, podemos utilizarlas para determinar la impedancia de entrada de sistemas de conductos como conductos rectos (con y sin flujo) y cámaras de expansión simples. Para un conducto recto de largo L (ver figura 2), podemos expresar la impedancia acústica específica en algún punto x como p/u (presión/velocidad de partículas), utilizando la relación de Euler y obtener:

donde A y B son las amplitudes de la onda incidente y reflejada, respectivamente. Utilizando las condiciones de borde Z_x=0 = Z_in y Z_x=L = Z_Rad, obtenemos:

donde . Si consideramos la presencia de flujo, en base a lo analizado en [9], podemos obtener la siguiente expresión:

donde k_p = k₀ / (1 + M) y k_m = k₀ / (1 - M) son los números de onda modificados por el flujo. kp y km consideran el incremento y decremento que genera el flujo en la velocidad de la onda de ida y vuelta, respectivamente. Notar que la impedancia de radiación implícita en la Ec. (10) también debe modificarse. De forma análoga podemos encontrar la impedancia de entrada para una cámara de expansión simple, si consideramos los tres conductos que la forman (ver figura 3) como sistemas separados, siendo la impedancia de entrada de uno la condición de borde del otro y así sucesivamente. Para este caso es más conveniente utilizar la impedancia acústica como parámetro ya que esta considera la sección de área del conducto en cuestión . El resultado queda de la forma:

, donde (11);

Figura 2: Sistema para la determinación de Zin para un conducto recto en presencia de flujo

Figura 3: Sistema Silenciador formado por tres conductos conexos

2.1 Rangos De Frecuencia De Trabajo

Para estar seguro de que se está midiendo en condiciones de onda plana, la normativa recomienda medir hasta una frecuencia máxima determinada por el diámetro d del conducto de pruebas, esto se cumple para [1]:

La Tabla 1 muestra las frecuencias máximas a considerar según el diámetro interno de los conductos de prueba utilizados en nuestro sistema:

Además, la separación entre micrófonos s debe ser escogida tal que [1]: . En el caso de que exista flujo medio bajo, la separación de micrófono adecuada se modifica de acuerdo a refs. 11 y 12 de [9]:

Las frecuencias mínimas de trabajo se pueden determinar de acuerdo a lo visto en [10]:

De acuerdo a estos criterios, se escogieron tres separaciones de micrófono para cada conducto de pruebas, a forma de cubrir un rango de de frecuencias desde los 100 Hz hasta las frecuencias dadas en la Tabla 1, aproximadamente.

Se programó en Labview para el tratamiento de las señales (principalmente la determinación de H₁₂ y la coherencia de la medición) y en Matlab para obtener gráficas teóricas y experimentales de los parámetros buscados. En el caso de mediciones con flujo, se ingresó la sonda del termoanemómetro en al menos dos posiciones a lo largo del conducto, para asegurarse de que fuera estable. Se estimó la velocidad media del flujo como el promedio de 3 velocidades obtenidas a lo largo de una sección de área perpendicular a la dirección de avance del flujo.

Figura 4: Sistema de medición implementado

Figura 5: Montaje para la medición de impedancia de entrada en conductos curvos

3. METODOLOGÍA

El sistema de medición se muestra en la figura 4. La fuente de ruido alimentada con ruido rosa, genera ondas planas en el conducto de pruebas. Las señales de los dos micrófonos instalados son adquiridas a través de una interfase por una tarjeta adquisidora.

Los flujos medios generados no sobrepasaron los 14 m/s, esto es M < 0.04. Las principales mediciones que se plantearon fueron la determinación de la impedancia de radiación (en un conducto circular) con y sin flujo, la determinación de la impedancia de entrada de un conducto recto (con y sin flujo), la medición de la impedancia de entrada de un sistema silenciador y la medición de impedancia de entrada de conductos curvos, para curvaturas entre 0 y 90º (15º, 45º, 60º y 90º). Para este último caso, nuestro análisis se basó en la comparación del mismo parámetro respecto a un conducto recto de igual longitud, por lo que no se hizo un análisis teórico. La figura 5 muestra un esquema del montaje para la medición de impedancia de entrada de conductos curvos y la forma en que se doblaron para obtener un ángulo de θ° de curvatura. En ella se observa que los conductos fueron doblados manteniendo el largo del lado exterior constante (e igual a 40 cm), mientras que el largo del eje central fue disminuyendo a medida que θ aumentaba. Una fórmula útil para obtener el largo del eje central del conducto curvo (L_eje) a partir del ángulo de curvatura θ, el diámetro d y la longitud del lado externo (L_lado) es:

Notar que el largo total del eje central del sistema que se está considerando es la suma de L_eje más el segmento recto de 1.011 m.

Figura 6: Impedancia de radiación teórica y experimental: a) y b) son la magnitud de Zrad sin y con sonodeflector, respectivamente; c) y d) son la fase de Zrad sin y con sonodeflector, repectivamente.

4. RESULTADOS

Las figuras 6 y 7 muestran los resultados de impedancia de radiación (con y sin sonodeflector en cada caso) para conductos en ausencia de flujo y transportando flujo medio bajo, respectivamente.

Figura 7: Impedancia de radiación en presencia de flujo medio bajo para los casos a) con sonodeflector y b) sin sonodeflector

Figura 8: Parte real de la impedancia de radiación teórica en presencia de 2 flujos de distinta velocidad

Los resultados son dados en función de ka donde a es el radio interno del conducto. Éstos fueron presentados en [11].

La figura 8 muestra el efecto teórico que tendría un flujo medio como los generados (M < 0.04), sobre la parte real de Z_rad, para un caso sin sonodeflector. A la vez muestra el efecto que tendría un flujo de 50 m/s, que ya comienza a generar diferencias notables. Las figuras 9 y 10 muestran la impedancia de entrada para un conducto recto en ausencia y presencia de flujo medio bajo. La figura 11 compara la impedancia de entrada de un conducto recto portando flujo con la impedancia de entrada teórica de un conducto recto más corto en ausencia de flujo. La figura 12 compara la impedancia de entrada de un conducto recto portando flujo con la obtenida utilizando una expresión teórica modificada.

Figura 9: Impedancia de entrada para un conducto recto en ausencia de flujo

Figura 10: Comparación del efecto de distintos flujos sobre la impedancia de entrada de un conducto recto

Figura 11: Comparación entre la impedancia de entrada para un conducto recto portando flujo y para otro conducto recto más corto, en ausencia de flujo.

Figura 12: Comparación entre la impedancia de entrada para un conducto recto portando flujo y la obtenida utilizando una expresión teórica modificada

Figura 13: Comparación del efecto de distintas curvaturas sobre la impedancia de entrada de un conducto recto

Figura 14: Comparación entre la impedancia de entrada de un conducto curvo y la de un conducto recto más corto

Figura 15: Impedancia de entrada para el sistema silenciador y coherencia de la medición

La figura 13 muestra la impedancia de entrada para conductos curvos. La figura 14 muestra la impedancia de entrada de un conducto curvo en comparación al mismo parámetro para un conducto recto más corto. La figura 15 muestra la impedancia de entrada para un sistema silenciador.

5. CONCLUSIONES

Respecto a las mediciones de impedancia de radiación, se obtuvo una buena concordancia entre teoría y experimento. Los efectos de flujos tan pequeños (M < 0.04) como los generados no son relevantes sobre este parámetro, como muestra la figura 7. Esto también se observa en la figura 8, donde se simula un flujo como el generado en comparación al efecto de un flujo mucho mayor (cercano a los 50 m/s). Los resultados de impedancia de entrada para un conducto recto en ausencia de flujo muestran una muy buena concordancia teórico-experimental (figura 9). Esto es en parte debido a que en esta figura se muestra una curva teórica que considera la atenuación de la onda en el conducto, considerando un número de onda complejo [1]. El efecto del flujo sobre la impedancia de entrada de un conducto recto mostró ser equivalente a acortar el conducto que lo transporta. Dicho efecto resultó distinto al esperado basándonos en lo planteado en la Ec. (10). Sin embargo, al modificar la expresión teórica mencionada, y considerar el efecto del flujo sólo sobre la onda en su misma dirección, se encontró una alta correlación entre teoría y experimento. Según esto, el largo equivalente de un conducto recto portando flujo medio bajo estaría dado por:

donde M es el número de Mach y L el largo original. Esta relación empírica debe ser comprobada con más datos de velocidad de flujo. Los motivos de este fenómeno son dignos de mayor análisis y deben ser considerados en otros estudios.

Para el caso de conductos curvos, también se encontró una equivalencia entre la impedancia de entrada de un conducto curvo y la de un conducto recto más corto. La alta correspondencia entre largos equivalentes encontrados y los dados teóricamente por la Ec. (15), nos llevaron a la conclusión de que la impedancia de entrada de un conducto curvo es igual a la impedancia de entrada de un conducto recto cuyo largo es igual al largo del eje central del conducto curvo. Esto es, si doblamos un conducto y mantenemos la longitud de su eje central constante, la impedancia de entrada del conducto curvado sería la misma que tenía cuando era recto. Esto para las curvaturas estudiadas. Los resultados de impedancia de entrada para el sistema silenciador de la figura 3 muestran la validez del análisis entregado. Sin embargo, para frecuencias sobre los 1000 Hz, las sucesivas caídas de impedancia y resonancias en la impedancia de entrada provocan caídas en la coherencia de las mediciones, haciéndolas poco confiables.

REFERENCIAS

[1] International Standard “Acoustics-Determination of sound absorption coefficient and impedance in impedance tubes. Part 2: Transfer-function method”, ISO 10534-2, (1998).

[2] Arenas, J.P. y Crocker, M.J., “A note on WKB Application to a Duct of Varying Cross-Section”, Appl. Math. Lett., 14(6), pp. 667,671, (2001).

[3] Arenas, J.P. y Poblete, V., “Asymptotic Approximation for Sound Propagation in Ducts Carrying Low Subsonic Mean Flow” Mathematical and Computer Modelling, 38(5-6), pp. 459-463, (2003).

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[8] Panicker, V. B. y Munjal, M. L., “Radiation Impedance of an Unflanged Pipe with Mean Flow”, Noise Control Engineering, 18, pp. 48-51, (1982).

[9] Munjal, M. L., “Acoustics of Ducts and Mufflers”, John Wiley & Sons, New York (1987).

[10] Abom, M. y Bodén, H., “Error analysis of two-microphone measurements in ducts with flow”, J. Acoust. Soc. Am. 83(6), pp. 2429-2438 (1988).

[11] Arenas, J. P., Jurado, C. A. y Poblete, V., “Experimental Setup to Measure Radiation Impedance of Pipes Carrying Low Mean Flow”, Tenth International Congress on Sound and Vibration, Stockholm Sweden, 3343-3350 (2003).

ref. 5 de [4] Martinez-Finkelshtein, A., Martinez-Gonzalez, P., y Zarzo, A., “WKB approach to zero distribution of solutions of linear second order differential equations”, J. Comput. Appl. Math. 145(1) 167-182 (2002).

ref. 11 de [9] Davies, P. O. A. L., “Flow-acoustic coupling in ducts”, J. Sound and Vibration, 77(2), pp. 191-209 (1981).

ref. 12 de [9] Thawani, P. T. y Noreen, R. A., “Computer-aided analysis of exhaust mufflers”, ASME Winter Annual Meeting , Phoenix , 82-WA-NCA-10 (1982).

AGRADECIMIENTOS

Este trabajo ha sido financiado por Conicyt a través del Proyecto Fondecyt N° 1020196. Se agradece la cooperación del Sr. Víctor Cumián en el montaje de la parte experimental de este trabajo.