J. Barros. Síntesis Tecnológica. N° 1 (2004) 1-8
DOI:10.4206/sint.tecnol.2004.n1-02

SISTEMA PARA MEDIR PÉRDIDA DE TRANSMISIÓN DE SILENCIADORES ACÚSTICOS EN UN TUBO CON TERMINACIÓN ABSORBENTE ACTIVA

José Luis Barros

Instituto de Acústica de la Universidad Austral de Chile, Dr. Ing., jbarros@uach.cl.

Resumen

Se implementa un montaje para medir pérdida de transmisión de filtros acústicos en un tubo con terminación absorbente activa. Se utiliza un altavoz como fuente secundaria para eliminar la onda reflejada mediante radiación con fase opuesta. Las fuentes primaria y secundaria son alimentadas con tonos puros, los cuales generan en el tubo solo ondas planas. Las señales para las fuentes primaria y secundaria son generadas por un computador, al mismo tiempo el computador calcula el coeficiente de reflexión a partir de las señales captadas por los micrófonos. La amplitud y fase de la fuente secundaria son modificadas mediante un método iterativo hasta obtener un coeficiente de reflexión mínimo. El sistema es probado mediante mediciones en silenciadores sencillos (cámaras de expansión).

Abstract

An experimental arrangement for measuring transmission loss of acoustical filters in a tube with active non-reflecting terminal is implemented. A loudspeaker is used as a secondary source to suppress the reflected wave by means of a opposite phase radiation. Primary and secondary sources are fed with pure tones which excite only plane waves. The signals for the primary and secondary sources are generated by a computer, at the same time the computer calculates the current reflection coefficient from the microphone signals. The amplitude and phase of secondary signal are changed by means of an iterative method until a minimal reflection coefficient result. The experimental arrangement is tested by measurements on simple silencers (expansion chambers).

1. INTRODUCCIÓN

Para evaluar los silenciadores acústicos, éstos frecuentemente se instalan en un tubo, el cual debería tener una terminación 100% absorbente de manera que las reflexiones al final del sistema no afecten la medición de las propiedades del silenciador o filtro instalado. En la mayoría de los casos se utilizan terminaciones cónicas con material absorbente poroso. En frecuencias bajas, este tipo de terminaciones normalmente no funcionan o deben ser demasiado grandes. Resulta entonces razonable utilizar una fuente secundaria como terminación activa y generar una señal tal que se eliminen las posibles reflexiones al final del tubo de prueba. Existen muchos trabajos sobre el control activo de señales acústicas al interior de un tubo (por ejemplo: [1] hasta [9]), el objetivo de este trabajo es desarrollar un sistema sencillo y de bajo costo para realizar las mediciones en un tubo con terminación activa. Utilizando señales sinusoidales (tonos puros) se puede prescindir de analizadores, tarjetas DSP, filtros anti-aliasing, etc. En este trabajo se presenta un algoritmo para obtener la amplitud y la fase de las señales y se describe el sistema con terminación absorbente activa. Para poner a prueba el sistema se realizan mediciones a tres silenciadores reactivos sencillos (cámaras de expansión).

2. MEDICIÓN DEL COEFICIENTE DE REFLEXIÓN

Hace ya mucho tiempo que se utilizan sondas de dos micrófonos para medir diferentes magnitudes acústicas ( [10] a [14] ), una de las posibles aplicaciones es la medición del coeficiente de reflexión.

Fig. 1. Sistema de coordenadas.

Para determinar la pérdida de transmisión de un silenciador (ver figura 2), montado en un tubo con terminación activa, se deben medir dos coeficientes de reflexión:

a) Para lograr una terminación absorbente se debe medir el coeficiente de reflexión al final del tubo (lugar de la fuente secundaria), para controlar la señal del segundo parlante de manera de eliminar la onda reflejada.
b) Un segundo par de micrófonos entre la fuente primaria y el silenciador permite establecer la correspondiente pérdida de transmisión del silenciador.

Mientras no exista propagación de modos superiores, es decir bajo la primera frecuencia de corte [14]

ƒc = 0.586 c
                  D

(c = velocidad del sonido, D = Diámetro del tubo), el campo sonoro consiste en la suma de una onda plana incidente mas una reflejada

p(x) = p₀ (e ^-jkx + re ^jkx)         (1)

donde p es la presión (como es habitual se ha omitido la dependencia temporal) k es el número de onda y r el coeficiente de reflexión.

Si se determina mediante una medición la amplitud compleja en dos puntos x₁ y x₂ (ver figura 1) , entonces se puede determinar el coeficiente de reflexión de la siguiente manera

En general se necesitan el cuociente entre las amplitudes de ambas presiones y la diferencia de fase para determinar el coeficiente de reflexión. En la siguiente sección se describe un procedimiento para calcular amplitud y fase a partir de la señal medida. Utilizando para las presiones la expresión p(x₁)=A₁e ^jφ1 y p(x₂)=A₂e ^jφ1, a partir de la ecuación (2) se obtiene la siguiente expresión para el módulo del coeficiente de reflexión

3. CÁLCULO DE AMPLITUD Y FASE

Para determinar la amplitud y la fase se utiliza la señal discreta muestreada ƒ_M(n) representando a la señal continua

ƒ(t) = Acos (ωt+φ)

(A: amplitud, φ: fase, ω: frecuencia angular).
A y φ se determinan de manera tal que la secuencia ƒ_M(n) sea lo mas parecida posible a la función ƒ(nΔt). Para minimizar la diferencia entre ƒ y ƒ_M se utiliza el error cuadrático

con Δt = 1/ƒ_t , donde ƒ_t = frecuencia de muestreo y N=número de muestras.

Utilizando como variables auxiliares α = Acos (φ) y β = Asin (φ) se obtiene:

ƒ(t) = αcos (ωt) - βsin (ωt)        (5)

      A² = α² + β²        (6)

    tan (φ) = β         (7)
   α

Si se conocen α y β se pueden calcular A y φ.
Con las nuevas variables se tiene

Considerando que las derivadas de Q respecto a α y respecto a β deben ser iguales a cero, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones

Las sumas de las ecuaciones (10) hasta (12) no presentan ninguna complicación en el rango

4. MONTAJE EXPERIMENTAL

El montaje para realizar las mediciones (ver figura 2) consiste esencialmente en dos tubos de PVC de 50mm de diámetro, dos altavoces (fuente sonora primaria y terminación activa), cuatro micrófonos de presión, una tarjeta de adquisición de datos (A/D-D/A) y un computador personal. Entre ambos tubos de PVC se instala el silenciador a medir.

Fig. 2. Montaje experimental.

Para acoplar los altavoces a los tubos se utilizan dos adaptadores cónicos. En ambos tubos de PVC se hacen 3 perforaciones (figura 3) para insertar los micrófonos. El par de perforaciones ubicadas una frente a otra se utilizan para calibrar el sistema (ver sección 5.3). Las perforaciones no utilizadas son selladas con un pequeño tapón.

Fig. 3. Tubo con adaptador y perforaciones.

5. PROGRAMA COMPUTACIONAL

El programa calcula la amplitud y fase de cada señal de acuerdo al procedimiento descrito en la sección 3. El módulo del coeficiente de reflexión y la pérdida de transmisión se calculan de acuerdo a las ecuaciones (3) y (21) respectivamente.

El sistema utiliza las entradas 0 y 1 para obtener el coeficiente de reflexión del silenciador. Las entradas 3 y 4 se utilizan para obtener el coeficiente de reflexión de la terminación activa.

Para cada medición el programa genera 1 segundo de señal por cada canal de salida con una frecuencia de muestreo ƒ_t = 10 kHz y por cada canal de entrada se adquieren 256 datos (también con ƒ_t = 10 kHz).

La señal generada por canal A se denomina señal primaria y permanece constante en fase y amplitud durante una medición. La señal generada por el canal B (para la terminación activa) se denomina señal secundaria. El programa determina la amplitud y la fase de la señal secundaria de manera tal que el coeficiente de reflexión en la terminación activa sea lo más bajo posible.

5.1. Determinación de amplitud y fase para la señal secundaria

La fase y amplitud de la señal secundaria se determinan mediante un procedimiento iterativo. El cambio de fase se realiza de acuerdo a la siguiente secuencia:

1) φ = φ_min

2) Generar señal con   φ₂ = φ - Δφ y calcular r_{(φ - Δφ)}

3) Si r_{(φ - Δφ)} < r_min, hacer φ_min = φ - Δφ y r_min = r_{(φ - Δφ)}

4) Generar señal con   φ₂ = φ + Δφ y calcular r_{(φ + Δφ)}

5) Si r_{(φ + Δφ)} < r_min, hacer φ_min = φ + Δφ y r_min = r_{(φ + Δφ)}

6) Reducir Δφ a la mitad

7) Volver al paso 1)

Con:

• r_φ    : Módulo del coeficiente de reflexión de la terminación cuando la fase de la señal secundaria es φ.
• r_min  : Valor mínimo del módulo del coeficiente de reflexión de la terminación.
• φ_min : Fase de la señal secundaria que produce el coeficiente de reflexión r_min (valor inicial 180 grados).
• φ^₂    : Fase de la señal secundaria.
• Δφ   : Intervalos de variación de fase (valor inicial 120 grados).
• φ        : Variable auxiliar.

Cada vez que se ejecuta la secuencia se va reduciendo el intervalo de variación Δφ a la mitad. Como el valor inicial es de 120º, después de n repeticiones se obtiene

Δφ = 120
        2ⁿ

Por ejemplo para n=8 se tiene Δφ ≈ 0.5 grados.
De manera análoga se realiza la variación de la amplitud de la señal secundaria, manteniendo en este caso constante la fase de la señal φ₂.

El programa computacional realiza ambas secuencias alternadamente de la siguiente manera:

1. 3 veces la secuencia de variación de fase
2. 3 veces la secuencia de variación de amplitud
3. regresa a 1.

El programa se detiene después de 3 repeticiones de la última secuencia o cuando r_min ≤ 0.01 .

5.2. Determinación de amplitud inicial para la señal secundaria

Al iniciar la secuencia de variación de fase la amplitud de la señal secundaria debe tener un valor inicial, el cual no puede ser establecido arbitrariamente.

La figura 4 muestra el coeficiente de reflexión calculado para distintas amplitudes y fase de la señal secundaria (para f=250 Hz). Cuando la amplitud inicial de la señal secundaria es demasiado distinta a la amplitud ideal (la amplitud necesaria para producir un coeficiente de reflexión r = 0 en la terminación activa), al efectuar las secuencias de variación de fase y amplitud se podría converger a valores de fase y amplitud totalmente errados. Cuando se corre la secuencia de variación de fase, la amplitud A₂ permanece constante.

Fig. 4. Coeficiente de reflexión al final del tubo en función de la fase y amplitud de la señal secundaria.

En la figura 4 se puede observar que el coeficiente de reflexión mínimo ocurre para valores de fase de la señal secundaria entre 100º y 200º. Para una amplitud A₂ > 5 Volt el coeficiente de reflexión es muy elevado entre 100º y 200º. Si el algoritmo comienza con un valor inicial de A₂ tan alto se pueden producir problemas con la convergencia, debido a esto se debe estimar un valor inicial conveniente.

Para determinar la amplitud inicial se realiza una primera medición sin señal secundaria y se estima la amplitud inicial de acuerdo a la siguiente ecuación

               A₂ =     P+2 r_{s2 = 0}A₁       (13)
P+1

donde:

• A₂       : Amplitud de la señal secundaria
• A₁         : Amplitud de la señal primaria
• r_{s2 = 0}  : Coeficiente de reflexión de la terminación sin señal secundaria
• P+1     : Amplitud de la señal incidente antes del silenciador
• P+2     : Amplitud de la señal incidente en la terminación

Con este procedimiento se obtiene un valor inicial en las cercanías de la amplitud ideal, de esta manera se converge a valores óptimos de fase y amplitud.

5.3. Calibración

Para calibrar el sistema se ubican los micrófonos según se indica en la figura 5.

Fig. 5. Montaje para calibración.

Sean A₀e ^jφ0 y A₁e ^jφ1 las señales en los canales de entrada 0 y 1 respectivamente. Si el sistema esta calibrado se debe cumplir que φ₁ - φ₀ = 0 y

Las mediciones muestran un aumento del lineal con la frecuencia del error de fase. Esto permite asumir que el error principal consiste en una diferencia de tiempo constante, es decir

Para corregir este error se utiliza un factor de corrección Δt_c que corresponden al promedio de las diferencias de tiempo Δt obtenidas en varias mediciones con distintas frecuencias. Después de esta calibración la diferencia de fase será calculada mediante la siguiente expresión

Δφ = φ₁ - φ₀ - ωΔt_c      (15)

La diferencia de fase se debe principalmente al hecho de que la tarjeta de adquisición (AD/DA) no muestrea los cuatro canales en forma paralela, naturalmente los aparatos conectados en la cadena de medición pueden producir otros corrimientos de fase pero despreciables respecto al corrimiento debido al muestreo.

La figura 6 muestra la diferencia de fase obtenida antes y después de aplicar la corrección.

Como muestra la figura 7, las variaciones de amplitud no supera 1 dB en casi todo el rango de frecuencias, por esta razón no se considera necesario establecer correcciones a la amplitud.

Fig. 6. Diferencia de fase φ1 - φ0, antes y después de calibrar.

Fig. 7. Diferencia de nivel 20 log A1/ A0 al calibrar.

6. CONSIDERACIÓN DE ERRORES

6.1. Efecto de los errores de fase y amplitud

Como se mostró en la sección 5.3, existen pequeños errores en la determinación de diferencias de fase y relación de amplitudes. Es importante analizar el efecto de estos errores sobre el coeficiente de reflexión.

Para el cuociente entre las amplitudes de la señal en x₁ y x₂ (sistema de coordenadas de la figura 1) se asume

ξ y δ representan el error de amplitud y fase respectivamente. Para el módulo del coeficiente de reflexión con error r_Ε se tiene

Al igual que la técnica de medición de intensidad los errores de fase juegan un papel importante [13]. En el caso de longitudes de onda grandes, es decir bajas frecuencias, los errores de fase tienen un efecto muy negativo, ya que la diferencia de fase Δφ a medir es muy pequeña.

En el caso sin reflexión, es decir

r = 0

y Δφ = - Ka, se obtiene

Si se considera el caso en que r = 1, es decir

Para representar gráficamente el error producido en el coeficiente de reflexión se calcula r_E0 y 1- r_E1 para cada frecuencia de medición. Como error de amplitud ξ y fase δ se ha utilizado el error mostrado en la sección 5.3 (figura 6 y 7). Los resultados se muestran en la figura 8. La exactitud del sistema de medición es bastante buena, el error es menor a 0.03 para la mayoría de las frecuencias, errores sobre 0.05 se presentan en frecuencias bajas (bajo 250 Hz). Los resultados para el caso extremo r = 1 no son muy buenos en frecuencias bajas, sin embargo en la práctica se obtienen valores considerablemente mas bajos en ese rango de frecuencia, es decir, en la práctica la precisión de la medición en frecuencias bajo los 250 Hz será mejor que lo establecido en el caso extremo r = 1.

Fig. 8. rE0 y (1- rE1) y para ξ y δ de las figuras 6 y 7.

7. MEDICIÓN DE DISTINTAS CÁMARAS

Para probar el sistema de medición se utilizan 3 cámaras de expansión simples, cuyo comportamiento es fácil de predecir por medios teóricos. Se utilizaron cámaras de expansión de longitud 5, 10 y 15 cm (figura 11).

Fig. 11. Corte de una cámara de expansión simple con secciones transversales S1 y S2, y longitud l.

Mientras no se propaguen modos de orden superior, el coeficiente de reflexión de la cámara de expansión esta dado por [15]

y para la pérdida de transmisión TL (trasmissión loss)

donde m = S₂/S₁. Como se puede ver, se obtienen coeficientes de reflexión r = 0 (TL = 0) para las frecuencias

                                ƒ = cn   n = 0,1,2,...      (22)
2l

La máxima pérdida de transmisión se obtiene en las frecuencias

                               ƒ = c(n + 0.5)   n = 0,1,2,...      (23)
2l

Considerando el valor para la relación de secciones transversales m = 4 utilizada en este caso, el valor teórico del máximo de pérdida de transmisión es de 6.55 dB.

Fig. 12. Pérdida de transmisión para la cámara de longitud 15 cm (+), para la terminación del tubo (◊) y curva teórica (línea continua).

Las figuras 12 a 14 muestran los resultados de las mediciones para el silenciador, la terminación absorbente y la correspondiente curva teórica.

Fig. 13. Pérdida de transmisión para la cámara de longitud 10 cm (+), para la terminación del tubo (◊) y curva teórica (línea continua).

Fig. 14. Pérdida de transmisión para la cámara de longitud 5 cm (+), para la terminación del tubo (◊) y curva teórica (línea continua).

8. CONCLUSIONES

Como muestran los gráficos en las figuras 12 a 14, los resultados de las mediciones con el sistema planteado en este trabajo coinciden muy bien con la teoría. Se puede ver que aparece un pequeño desplazamiento en el eje de las frecuencias, el cual se debe fundamentalmente a la diferencia entre el largo geométrico de la cámara y el largo para efectos acústicos. En esta diferencia también puede influir la variación de la velocidad del sonido debido a la rigidez de las superficies internas de la cámara. En base a los resultados obtenidos se puede concluir que el sistema de medición con terminación activa planteado en este trabajo es un sistema confiable para evaluar el comportamiento de silenciadores acústicos.

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